阮一峰博客上看到这么一个数学题（原文是 maths.org 2014 年的一篇文章）：

已知：小圆的半径为 $r$，大圆的半径为 $4r$
问：小圆自身滚动了几周？

我们很容易认为：
我们可以把小圆视作在平面上运动，向前运动的路程就是大圆的周长 $8 \pi r$。
小圆向前运动时，每次自转一周，运动的路程是小圆的周长 $2 \pi r$。
所以答案应该是：

$\frac {8 \pi r} {2 \pi r} = 4$

可是原作者提醒我们，小圆在这个过程中有一个隐藏的自转被忽略了。

假设两个圆半径相等，然后用硬币实验：

正面硬币充当运动圆，反面硬币充当固定圆。
正面硬币从上方位置，顺时针运动，依次经过右方，下方，左方，然后回到上方初始位置，完成对反面硬币的一周运动。

可以非常明了的发现，正面硬币运动到下方位置，才走了一半的周长，但可以观察到已经旋转一周了！

在评论区有人提示，如果将其中固定圆的周长设为 0，那么就是运动圆围绕一个点转一圈。
周长方向一点相对运动都没有，但是也可以看到完成了一次自转。

思考

黑圆与蓝圆半径为 $r$，红圆半径为 $3r$
黑圆围绕蓝圆一周

按照上面的结论，黑圆自转两周，也就是说放到平面上来看，运动距离为 $4 \pi r$

按蓝圆（半径 $1r$）来算，似乎等于 1 倍蓝圆周长。
按红圆（半径 $3r$）来算，似乎等于 3 倍蓝圆周长。
感觉这两种思考方式都符合我们的认知逻辑，但实际结果是：周长的变化是等于粉圆的周长。

如何彻底推翻之前的错误认知，我没有想通这一点。
我可能智商不够，感觉现在自己的脑袋有点糊了，可能暂时只能 “记住就行了”。
下次再继续思考这个问题。

如果谁看到这个问题，能在留言中给我指点指点，感激不尽。